Materi Perbandingan Matematika SMP

EnsiklopediaMatematika – Pada postingan kami selanjutnya akan membahas materi-materi ajar yang ada pada sekolah SMP – SMA. Pada postingan kali ini kami akan membahas mengenai materi ajar PERBANDINGAN. Materi perbandingan ini diajarkan pada jenjang sekolah menengah pertama (SMP) dan materi ini merupakan materi dasar untuk mempelajari materi-materi selanjutnya pada bidang matematika. Untuk melihat lebih lanjut, silahkan disimak dan didownload filenya dibawah ini:

DownloadThis File

Terima kasih telah mengunjungi blog kami, semoga materi ajar pada materi perbandingan ini memberikan kita manfaat dan lebih memperdalam pengetahuan kita tentang pelajaran matematika. Nantikan postingan kami selanjutnya.

Materi Ajar Bilangan Bulat Matematika SMP

EnsiklopediaMatematika – Selamat malam sahabat-sahabat sekalian, pada postingan kami selanjutnya akan membahas materi-materi ajar yang ada pada sekolah SMP – SMA. Pada postingan pertama ini kami akan membahas mengenai materi ajar bilangan. Materi bilangan ini diajarkan pada jenjang sekolah menengah pertama (SMP) dan materi ini merupakan materi dasar untuk mempelajari materi-materi selanjutnya pada bidang matematika. Untuk melihat lebih lanjut, silahkan disimak dan didownload filenya dibawah ini :

Download This File

Terima kasih telah mengunjungi blog kami, semoga materi ajar pada materi bilangan ini memberikan kita manfaat dan lebih memperdalam pengetahuan kita tentang pelajaran matematika. Nantikan postingan kami selanjutnya.

Tokoh Matematikawan : John Carl Friedrich Gauss

Ensiklopedia Matematika – Sahabat-sahabat sekalian, pada postingan kali ini kami akan membahas tokoh matematikan sekaligus tokoh fisikawan jerman, yaitu John Carl Friedrich Gauss. Sebelum kami membahas tokoh matematikawan tersebut, penulis berterima kasih kepada Eka Safitri telah memberikan semangat kepada penulis tanpa lelah dan memberikan warna tersendiri. Silahkan disimak penjelasannya di bawah ini :

John Carl Friedrich Gauss lahir di Braunschweig, 30 April 1777. Beliau adalah matematikawan, astronom, dan fisikawan Jerman yang memberikan beragam kontribusi, bahkan ia dipandang sebagai salah satu matematikawan terbesar sepanjang masa selain Archimedes dan Isaac Newton. Pada usia 3 tahun, ia telah mampu mengoreksi kesalahan daftar gaji tukang batu ayahnya. Menurut cerita, pada umur 10 tahun, ia membuat gurunya terkagum-kagum dengan memberikan rumus untuk menghitung jumlah suatu deret aritmatika berupa perhitungan deret , bahkan soal yang diberikan gurunya sebenarnya lebih sulit dari itu.

Sebagai salah satu matematikawan terbesar sepanjang masa, selain Archimedes dan Isaac newton, Gauss melakukan penelitiannya di observatorium astronomi di Gottingen, kota kecil di jantung Jerman. Gauss memberikan beragam kontribusi yang variatif pada bidang matematika. Bidang analisis dan geometri mengandung banyak sekali sumbangan-sumbangan pikiran Gauss, ide geometri non Euclidis dia kembangkan pada tahun 1797.

Pada tahun 1799 menyumbangkan tesis doktornya mengenai Teorema Dasar Aljabar dan tahun 1800 berhasil menciptakan metode kuadrat terkecil. Dan pada 1801 berhasil menjawab pertanyaan yang berusia 2000 tahun dengan membuat polygon 17 sisi memakai penggaris dan kompas. Di tahun ini juga menerbitkan Disquisitiones Arithmeticae, sebuah karya klasik tentang teori bilangan yang paling berpengaruh sepanjang masa.

Gauss menghabiskan hampir seluruh hidupnya di Gottingen sampai wafat. Gauss ialah ilmuwan dalam berbagai bidang: matematika, fisika, dan astronomi. Bidang analisis dan geometri menyumbang banyak sekali sumbangan-sumbangan pikiran Gauss dalam matematika. Kalkulus termasuk salah satu bidang analisis yang juga menarik perhatiannya.

Salah satu penemuan terbesar Gauss dalam bidang matematika adalah metode “Gauss-Seidel” digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear berukuran besar, seperti sistem-sistem yang banyak ditemukan dalam sistem persamaan diferensial. Metode iterasi Gauss-Seidel dikembangkan dari gagasan metode iterasi pada solusi persamaan tak linear. Teknik iterasi jarang digunakan untuk menyelesaikan Sistem Persamaan Linear berukuran kecil karena metode-metode langsung seperti metode eliminasi Gauss lebih efisien daripada metode iterasi

Beberapa hikmah yang bisa kita petik antara lain:

1.      Jika kita mampu mengamati dengan teliti segala sesuatu yang ada di sekitar kita, maka kita bisa mengambil hikmah dan manfaatnya.

2.      Jika kita ingin menuntut ilmu dengan baik dan benar, maka kita harus mampu menghadapi segala hambatan dan rintangan yang ada.

3.      Ketika kita sudah mendapatkan suatu ilmu, gunakanlah ilmu itu untuk kebaikan dan ajarkanlah kepada orang lain.

Terima kasih telah mengunjungi blog kami, semoga artikel tokoh matematikawan John Carl Friedrich Gauss memberikan kita manfaat dan menambah pengetahuan kita semua.

Tokoh Matematikawan : Leonard Euler

EnsiklopediaMatematika – Sahabat-sahabat sekalian, pada kesempatan kali ini kami akan membagikan postingan mengenai tokoh matematikawan yaitu Leonard Euler. Beliau telah menemukan sebuah bilangan yang banyak digunakan untuk perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi yaitu Bilangan Euler.

Leonard Euler (1707-1783) merupakan tokoh dominan dari Matematika abad kedelapanbelas dan pengarang buku matematika yang paling subur sepanjang masa. Lahir di dekat Besel, Swiss. Ia belajar kepada orang sebangsanya Johan Bernoulli dan telah menerbitkan makalah-makalah pada usia 18 tahun. Ia menjabat di Universitas Besel, St. Petersburg Academy of Sciences. Pada waktu ia  meninggal, disebutkan bahwa semua matematikawan Eropa adalah mahasiswanya. Minat Euler yaitu dalam bidang matematika dan fisika. Ia memperkenalkan e sebagai bilangan dasar untuk logaritma asli. Memperlihatkan bahwa e dan  adalah tak rasional, dan menemukan hubungan luar biasa . Kebutaan selama 17 tahun terakhir dari hidupnya tidak menghambat karyanya. Sebagian disebabkan oleh daya ingatnya yang ajaib. Ia mengetahui dalam hati rumus-rumus trigonometri dan analisis. Dikatakan bahwa ia telah melakukan suatu perhitungan sampai posisi 50 desimal di dalam kepalanya. Selain itu, Euler adalah seorang pecinta keluarga, ia seringkali menghabiskan waktu-waktunya bersama 13 putra-putrinya dengan membangun permainan-permainan ilimiah.

Hikmah yang mungkin bisa kita petik adalah:

Keterbatasan fisik tidak menghambat seseorang untuk menghasilkan karya yang fantastis.

Terima kasih telah mengunjungi blog kami, semoga artikel tokoh matematikawan Leonard Euler ini memberikan kita manfaat dan menambah wawasan pengetahuan kita.

Tokoh Matematikawan : Thabit Ibnu Qurra

Ensiklopedia Matematika - sahabat-sahabat sekalian, apakah kalian pernah mendengar sebuah nama dari matematikawan Thabit Ibnu Qurra???. Kami yakin, kebanyakan dari sahabat-sahabat baru mendengar nama tersebut. Oleh karena itu, pada postingan kali ini kami akan membagikan sebuah postingan yang akan membahas tokoh inspiratif matematika yaitu Thabit Ibnu Qurra. Silahkan disimak penjelasannya.

Thabit Ibnu Qurra lahir pada tahun 836 Masehi – 901 Masehi. Dengan panggilan Thabit. Beliau merupakan salah seorang ilmuwan muslim terkemuka di bidang Geometri. Beliau melakukan penemuan penting di bidang matematika seperti kalkulus integral, trigonometri, geometri analitik, dan geometri non-Eucledian.

Salah satu karyanya yang fenomenal di bidang geometri adalah bukunya yang berjudul The composition of Ratios (komposisi rasio). Dalam buku tersebut Thabit mengaplikasikan antara aritmatika dengan rasio kuantitas geometri. Pemikiran ini, jauh melampaui penemuan ilmuwan Yunani kuno dalam bidang geometri.

Sumbangan Thabit terhadap geometri lainnya yakni, pengembangan geometri terhadap teori Pythagoras di masa dia mengembangkannya dari segitiga siku-siku khusus ke seluruh segitiga siku-siku. Thabit juga mempelajari geometri untuk mendukung penemuannya terhadap kurva yang dibutuhkan untuk membuat bayangan matahari.

Beberapa hikmah yang mungkin bisa kita petik antara lain :

1. Setiap apa yang kita lakukan, buatlah menjadi sesuatu yang sangat berarti.
2. Segala ilmu yang kita dapatkan hasru selalu dikembangkan dan diaplikasikan dalam kehidupan sehari-hari. Sehingga dapat membantu teori-teori sebelum menjadi lebih mudah dipahami dan dapat diterima oleh masyarakat dengan baik.
3. Salah satu cara supaya kita bisa mengembangkan ilmu yang kita dapatkan adalah dengan memunculkan pertanyaan-pertanyaan yang sesuai dengan konteks ilmu itu sendiri. Misalkan : Mengapa teori ini begini ? Mengapa tidak begitu ? Bisakah diterapkan dalam kehidupan sehari-hari ? Bagaimana caranya menerapkan ?
4. Kita harus bisa menggunakan teori sebelumnya untuk menemukan teori yang baru. Sehingga dengan demikian ada keterkaitan antara materi yang satu dan dengan amteri yang lain. Hal ini identik dengan kehidupan sehari-hari yang namanya kerjasama, gotong-royong, saling menghargai, dan lain-lain.
5. Segala sesuatu yang dapat kita amati pada fenomena alam ini, kita bisa mempertanyakannya serta bisa memperoleh jawabannya, maka kita akan memperoleh pengetahuan baru yang sangat bermanfaat bagi diri kitaa khususnya dan orang lain pada umumnya.

Itulah sebuah kisah inspiratif dari seorang tokoh muslim matematikawan dalam bidang geometri yaitu Thabit Ibnu Qurra. Semoga kita dapat mengambil sebuah pelajaran didalamnya dan kita mampu paling tidak mengikuti jejak beliau. Dan terima kasih telah mengunjungi blog kami dalam Ensiklopedia Matematika.

Teorema Fermat dan Teorema Wilson

Ensiklopedia Matematika - sahabat-sahabat sekalian, pada postingan kali ini kami akan membagikan sebuah materi yang merupakan materi kelanjutan kami dari postingan sebelumnya, yaitu Teorema Fermat dan Teorema Wilson. Materi tersebut tidak ada dalam kurikulum pendidikan kita, tetapi materi tersebut sangat penting bagi sahabat-sahabat yang akan mengikuti ajang-ajang perlombaan matematika. Oleh karena itu, silahkan disimak dan didownload filenya dibawah ini :

Matematika merupakan ilmu yang kompleks, yang memuat objek-obek pembelajaran yang berkaitan satu sama lain. Objek-objek dalam matematika memang berhubungan satu sama lain. Seperti halnya dikenal akan fakta tentang penjumlahan dan perkalian yang saling berhubungan yang merupakan bagian dari konsep matematika. Pada konsep perkalian melibatkan konsep penjumlahan. Karena kita kenal perkalian itu adalah penjumlahan yang berulang. Konsep pembagian juga melibatkan konsep pengurangan dan perkalian.

Seorang siswa yang telah memahami konsep perkalian yang telah mendalam, maka siswa tersebut akan cepat memahami pembagian. Atau lain halnya lagi jika konsep pembagian yang diberikan pada siswa dalam bentuk realistik atau nyata. Contohnya saja jika siswa dihadapkan pada pembagian, dengan mengambil contoh konkret seperti dalam membagi 10 buah permen pada 5 orang anak maka masing-masing anak akan mendapatkan permen sebanyak berapa butir?

Berdasarkan konsep pembagian ini, jika semua benda sudah terbagi semuanya, maka akan terlihat adanya kesamaan yang didapatkan oleh masing-masing anak  tersebut.hal seperti inilah yang dimaksud dengan kekongruenan tetapi dalam hal ini kita akan membahas tentang Teorema Fermat dan Teorema Wilson yang mana contoh soalnya lebih konkrit dari kekongruenan atau teorema yang dikembangkan dengan dasar kekongruenan oleh  Pierre de Fermat pada tahun 1640 dan Teorema Wilson dipublikasikan pertama kali Edward Waring (1770) tanpa mencantumkan buktinya.  Bukti dari Teorema Wilson pertama kali diberikan oleh Lagrange pada tahun 1771.

Beberapa kegunaan Teorema Fermat dan Wlison adalah untuk menguji keprimaan suatu bilangan bulat dan menentukan sisa pembagian. Dengan konsep Teorema Fermat dan Teorema Wilson, kita lebih mudah dan cepat untuk menentukan sisa beberapa pembagian bilangan bulat.

Silahkan didownload filenya dibawah ini :

Download This File

Terima kasih atas kunjungannya di blog kami, semoga artikel teorema fermat dan wilson ini memberikan kita pemahaman lebih terhadap matematika. Dan sampai ketemu lagi dipostingan kami selanjutnya dalam Ensiklopedia Matematika

Teori Bilangan Materi Kekongruenan

Ensiklopedia Matematika - sahabat-sahabat sekalian, pada malam hari ini kami akan membahas sebuah materi yang sangat penting dalam mempelajari teori bilangan dan menyelesaikan soal-soal lomba OSN matematika, yaitu Kekongruenan. Silahkan disimak penjelasannya dibawah ini :

Matematika merupakan ilmu yang kompleks, yang memuat objek-obek pembelajaran yang berkaitan satu sama lain. Objek-objek dalam matematika memang berhubungan satu sama lain. Seperti halnya dikenal akan fakta tentang penjumlahan dan perkalian yang saling berhubungan yang merupakan bagian dari konsep matematika. Pada konsep perkalian melibatkan konsep penjumlahan. Karena kita kenal perkalian itu adalah penjumlahan yang berulang. Konsep pembagian juga melibatkan konsep pengurangan dan perkalian.

Seorang siswa yang telah memahami konsep perkalian yang telah mendalam, maka siswa tersebut akan cepat memahami pembagian. Atau lain halnya lagi jika konsep pembagian yang diberikan pada siswa dalam bentuk realistik atau nyata. Contohnya saja jika siswa dihadapkan pada pembagian, dengan mengambil contoh konkret seperti dalam membagi 10 buah permen pada 5 orang anak maka masing-masing anak akan mendapatkan permen sebanyak berapa butir?

Berdasarkan konsep pembagian ini, jika semua benda sudah terbagi semuanya, maka akan terlihat adanya kesamaan yang didapatkan oleh masing-masing anak  tersebut.hal seperti inilah yang dimaksud dengan kekongruenan.

Beberapa kegunaan kekongruenan adalah untuk menjelaskan cirri terbagi habis dari beberapa bilangan, koreksi Sembilan, yaitu menguji kebenaran suatu hasil penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian bilangan bulat. Dengan konsep kekongruenan, kita lebih mudah dan cepat untuk menentukan sisa beberapa pembagian bilangan bulat.

Konsep dan sifat keterbagian dapat dipelajari secara lebih mendalam dengan relasi kekongruenan. Dengan menggunakan konsep kekongruenan, kita data menelaah sifat keterbagian secara luas dan mendalam sehingga lebih Nampak manfaatnya kekongruenan dan sifatnya diperlukan juga penguasaan konsep dan sifat keterbagian. Pengkongruenan linear yaitu kalimat terbuka yang melibatkan relasi kekongruenan.

Definisi 7.1

Jika m suatu bilangan positif maka a kongruen dengan b modulo m (ditulis a ≡ b (mod m)) jika dan hanya jika m membagi (a-b) atau ditulis m (a-b). jika m tidak membagi (a-b) mak dikatakan a tidak kongruen dengan b modulo m (ditulis a b(mod m)).

Contoh 7.1.

a.       8 ≡ 4 (mod 2) sebab 2│(8-4) atau 2│4.

b.      14 ≡ -7 (mod 3) sebab 3│(14- (-7)) atau 3│21.

c.       -10 ≡ 20 (mod 5) sebab 5│(-10-20) atau 5│-30.

d.      12  6 (mod 4) sebab 4 (12-6) atau 4 6.

e.       8  -2 (mod 3) sebab 3  8 (-2) atau 3  10.

Teorema 7.1

Setiap bilangan bulat kongruen modulo m dengan tepat satu di antara 0, 1, 2, 3, …, (m-1).

Bukti:

a ≡ b (mod m) jika dan hanya jika ada bilangan bulat k sehingga a = mk +b. Jika a dan m bilangan bulat dan m > 0, maka a  dinyatakan sebagai a = mq + r dengan 0≤ r < m. Ini berarti bahwa a –r = mq, yaitu a ≡ r (mod m). karena 0≤ r < m, maka ada m buah pilihan untuk r, yaitu 0, 1, 2, 3,…, (m-1). Jadi, setiap bilangan bulat akan kongruen modulo m dengan tepat satu diantara 0, 1, 2, 3, …, (m-1).

Definisi 7.2.

Pada a ≡ r (mod m) dengan 0 ≤ r < m, r disebut sisaan terkecil dari a modulo m. untuk kkekongruenan ini, {0, 1, 2, 3, …, (m-1)} disebut himpunan sisaan positif terkecil modulo m.

Contoh 7.3.

a.       12 ≡ 2 (mod 5) karena 2 adalah sisaan terkecil dari 12 modulo 5.

b.      71 ≡ 1 (mod 2) karena 1  adalah sisaan terkecil dari 71 modulo 2.

c.       71 ≡ 2 (mod 3) karena 2 adalah sisaan terkecil dari 71 modulo 3.

d.      34 ≡ 4 (mod 5) karena 4 adalah sisaan terkecil dari 34 modulo 5.

Teorema 7.2.

a ≡ b (mod m) jika dan hanya jika a dan b memiliki sisa yang sama jika dibagi m.

Bukti:

Akan dibuktikan bahwa jika a ≡ b (mod m) maka a dan b memiliki sisa yang sama jika dibagi m. Andaikan a ≡ b (mod m) maka a ≡ r (mod m) dan b ≡ r (mod m) dengan r adalah sisaan terkecil modulo m atau 0 ≤  r < m. Karena a ≡ r (mod m) berarti a = mq +r untuk suatu q. Demikian juga, b ≡ r (mod m) berarti b = mq + r untuk suatu t. Ini berarti a dan b memiliki sisa yang sama yaitu r jika dibagi m. 

contoh:

10 ≡ (mod 4) mempunyai arti yang sama dengan 10 = 4k +  2 untuk suatu bilangan bulat k = 2 dan 10 dibagi 4 bersisia 2.

  Definisi 7.3.

Himpunan bilangan bulat  disebut system sisaan lengkap modulo m jika dan hanya jika setiap bilangan bulat adalah kongruen modulo m dengan satu dan hanya satu diantara  .

Contoh:

a.       {45, -9, 12, -22, 24} adalah suatu system sisaan lengkap modulo 5 karena 45 ≡ 0 (mod 5), -9 ≡ 1 (mod 5), 12≡ 2 (mod 5), -22 ≡ 3 (mod 5),  dan 24 ≡ 4 (mod 5).

b.      {0, 1, 2, 3, 4} juga merupakan  suatu system sissan langkap modulo 5, sekaligus sebagai himpunan sisaan terkecil modulo 5.

Kekongruenan modulo suatu bilangan bulat positif adalah memadankan suatu bilangan bulat a dengan suatu bilangan bulat lain b, karena merupakan pemadanan, maka kekongruenan  modulo merupakan suatu relasi. Suatu relasi R disebut relasi ekuivalensi atas suatu himpunan bilangan A jika relasi itu memiliki sifat refleksi, sifat simetris dan sifat transitif.

1.      Sifat refleksif: aRa, suatu bilangan a memiliki relasi R terhadap bilangan a itu sendiri.

2.      Sifat simetris: aRb jika dan hanya jika bRa.

3.      Sifat transitef: aRb dan bRc berakibat aRc.

Teorema 7.3.

Untuk m bilangan bulat positif dan a, b, dan c bilangan bulat berlaku :

(1)   Sifat refleksif : a≡ a (mod m)

(2)   Sifat simetris: a ≡ b (mod m) jika dan hanya jika b ≡ a (mod m).

(3)   Sifat transitif: jika a ≡ b (mod m) dan b ≡ c (mod m) maka a ≡ c(mod m).

Bukti:

(1)   Karena m │0 maka m│(a-a), sehingga menurut Definisi 7.1. a ≡ a (mod m).

(2)   Jika a ≡ b(mod m) maka menurut Definiisi 7.1. m│(a-b). Menurut definisi keterbagian m│(a-b) berarti ada t  Z. sedemikian sehingga a-b = mt  b –a = m(-t) dengan –t  Z, sehingga sesuai dengan definisi keterbagian diperoleh m│(b-a). Karena m│(b-a) maka b ≡ a(mod m).

(3)   Jika a ≡ b(mod m) dan b ≡ c (mod m), maka menurut Definiisi 7.1. m│(a-b) dan m│{(a-b)+(b-c)} atau m│(a-c), sehingga a ≡ c (mod m).

Teorema 7.4

Jika a ≡ b (mod m) dan c ≡ d (mod m) maka {a ± c} ≡ {b ± d} (mod m)

Bukti:

            Karena a ≡ b (mod m) berarti a= ms+b untuk suatu bilangan bulat s. demikin juga, c ≡ d (mod m) berarti c= mt +d untuk suatu bilangan bulat t. apabila kedua persamaan ini ditambahkan atau dikurangkan diperoleh:

a±c = (ms+b) ± (mt+d)  a±c = m (s±t) + (b±d)

                                       (a±c) – (b±d) = m(s±t).

Ini berarti a±c ≡ (b±d) (mod m).        

Teorema 7.5.

Jika a ≡ b (mod m) dan c ≡ d(mod m) maka untuk x dan y bilangan bulat ax+ cy) ≡ (bx + dy) (mod m).

Bukti:

Asumsikan a ≡ b(mod m) berarti a= ms + b untuk suatu bilangan bulat s. demikian juga, c≡d (mod m) berarti c = mt +d untuk suatu bilangan bulat t. jika kedua ruas persamaan pertama dikalikan x dan kedua ruas persamaan kedua dikalikan y diperoleh: ax = ms+by dan cy= mty + dy. Dengan  penjumlahan, dari kedua persamaan ini diperoleh:

ax + cy ≡ (msx+bx) + (mty + dy) ax + cy= m(sx + ty) +(bx + dy)

                                                                (ax + cy) – (bx+dy) = m(sx+ty).

Ini berarti bahwa m │{(ax+cy) – (bx + dy)} atau ax+cy ≡ (bx+dy)(mod m)

Teorema 7.6.

Jika a ≡ b (mod m) dan c ≡ d (mod m) maka ac ≡ bd (mod m).

Bukti:

Asumsikan a≡ b(mod m) dan c≡ d (mod m), menurut Definisi 7.1 m│(a-b) dan m│(c-d). ini berarti ada s  Z,sehingga (a-b) = ms atau a= ms + b dan ada t Z, sedemikian sehingga (c-d) = mt atau c = mt+d. jika kedua persamaan ini dikalikan, diperoleh: ac = (ms + b) (mt+d)  ac=bd+m (mst + sd+ bt).

Ini berarti ac ≡ bd (mod m).

Teorema 7.7.

Jika a ≡ b (mod m) maka ka ≡ kb (mod m) untuk suatu k bilangan bulat sebarang.

Bukti:

Ambil a ≡ b(mod m) maka menurut Definisi 7.1 m│(a-b). Karena m│(a-b), menurut teorema keterbagian m│k(a-b) atau m│(ka-kb) untuk sembarang k Z seduai definisi 7.1, ini berarti ka ≡ kb (mod m).

Teorema 7.8.

Jika a ≡ b (mod m) maka ka ≡ kb (mod km) untuk suatu k bilangan bulat sebarang.

Bukti:

Asumsikan a ≡ b(mod m), menurut Definisi 7.1 m│(a-b), yang berarti ada x Z sehingga (a-b) = mx atau k(a-b) = kmx atau ka-kb = (km)x. Menurut definisi keterbagian, ini berarti km│(ka-kb), sesuai Definisi 7.1 ka ≡ kb (mod km).

Teorema 7.9.

Jika a ≡ b (mod m) dan n│m maka a ≡ b (mod m) untuk a, b, n  Z.

Bukti:

Asumsikan a≡ b (mod m), menurut Definisi 7.1 m│(a-b). Karena n│m dan m│(a-b) maka menurut teorema keterbagian n│(a-b), sehingga menurut Definisi 7.1  a≡ b (mod n).

Teorema 7.10.

Jika a ≡ b (mod m) maka aⁿ ≡ bⁿ (mod m)untuk n bilangan bulat positif.

Teorema 7.11.

Andaikan f suatu polinom dengan koefisien bilangan bulat, yaitu f(x) = d₀xⁿ + d₁ x^n-1 + d₂x^n-2 + …+ d^n-1x + d_n, dengan d₀, d₁, …,d_n masing-masing bilangan bulat. Jika a ≡ b(mod m) maka f(a) = f (b) (mod m).

Bukti:

Gunakan teorema 7.10: “jika a ≡ b(mod m) maka aⁿ ≡ bⁿ(mod m) untuk n bilangan bulat positif. Karena a ≡ b(mod m) maka a² ≡ b² (mod m)

            Teorema 7.12.

Jika a suatu penyelesaian f(x) = 0 (mod m) dan a ≡ b(mod m) maka b juga penyelesaian f(x) itu.

            Teorema 7.13.

Jika d│m dan a ≡ b (mod m) maka a ≡ b (mod m).

Pada persamaan bilangan bulat berllaku sifat penghapusan sebagai berikut: jika ab = ac dengan a ≠ 0 maka b = c.

            Teorema 7.14.

Jika ac = bc (mod m) dan (c,m) = 1 maka a ≡ b (mod m).

Bukti:

Karena ac ≡ bc (mod m) berarti m│c(ac - bc) atau m│c(a-b). dari m│c(a-b) dan (c,m) = 1 diperoleh m│(a-b) berarti a ≡ b(mod m). Jadi, kita dapat menghapus suatu factor dalam kekongruenan, jika factor tersebut dan bilangan modulonya saling prima. Tetapi jika faktor dan modulonya tidak saling prima, kita harus mengganti bilangan modulonya dalam teorema berikut:

 Untuk lebih lanjut, silahkan di download filenya dibawah ini :

Download This File

Terima kasih atas kunjungannya di blog kami, semoga artikel Teori bilangan pada materi kekongruenan ini memberikan manfaat bagi kita semua serta pemahaman kita terhadap matematika lebih meningkat dalam Ensiklopedia Matematika.