Teori Bilangan Materi Kekongruenan

Ensiklopedia Matematika - sahabat-sahabat sekalian, pada malam hari ini kami akan membahas sebuah materi yang sangat penting dalam mempelajari teori bilangan dan menyelesaikan soal-soal lomba OSN matematika, yaitu Kekongruenan. Silahkan disimak penjelasannya dibawah ini :

Matematika merupakan ilmu yang kompleks, yang memuat objek-obek pembelajaran yang berkaitan satu sama lain. Objek-objek dalam matematika memang berhubungan satu sama lain. Seperti halnya dikenal akan fakta tentang penjumlahan dan perkalian yang saling berhubungan yang merupakan bagian dari konsep matematika. Pada konsep perkalian melibatkan konsep penjumlahan. Karena kita kenal perkalian itu adalah penjumlahan yang berulang. Konsep pembagian juga melibatkan konsep pengurangan dan perkalian.

Seorang siswa yang telah memahami konsep perkalian yang telah mendalam, maka siswa tersebut akan cepat memahami pembagian. Atau lain halnya lagi jika konsep pembagian yang diberikan pada siswa dalam bentuk realistik atau nyata. Contohnya saja jika siswa dihadapkan pada pembagian, dengan mengambil contoh konkret seperti dalam membagi 10 buah permen pada 5 orang anak maka masing-masing anak akan mendapatkan permen sebanyak berapa butir?

Berdasarkan konsep pembagian ini, jika semua benda sudah terbagi semuanya, maka akan terlihat adanya kesamaan yang didapatkan oleh masing-masing anak  tersebut.hal seperti inilah yang dimaksud dengan kekongruenan.

Beberapa kegunaan kekongruenan adalah untuk menjelaskan cirri terbagi habis dari beberapa bilangan, koreksi Sembilan, yaitu menguji kebenaran suatu hasil penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian bilangan bulat. Dengan konsep kekongruenan, kita lebih mudah dan cepat untuk menentukan sisa beberapa pembagian bilangan bulat.

Konsep dan sifat keterbagian dapat dipelajari secara lebih mendalam dengan relasi kekongruenan. Dengan menggunakan konsep kekongruenan, kita data menelaah sifat keterbagian secara luas dan mendalam sehingga lebih Nampak manfaatnya kekongruenan dan sifatnya diperlukan juga penguasaan konsep dan sifat keterbagian. Pengkongruenan linear yaitu kalimat terbuka yang melibatkan relasi kekongruenan.

Definisi 7.1

Jika m suatu bilangan positif maka a kongruen dengan b modulo m (ditulis a ≡ b (mod m)) jika dan hanya jika m membagi (a-b) atau ditulis m (a-b). jika m tidak membagi (a-b) mak dikatakan a tidak kongruen dengan b modulo m (ditulis a b(mod m)).

Contoh 7.1.

a.       8 ≡ 4 (mod 2) sebab 2│(8-4) atau 2│4.

b.      14 ≡ -7 (mod 3) sebab 3│(14- (-7)) atau 3│21.

c.       -10 ≡ 20 (mod 5) sebab 5│(-10-20) atau 5│-30.

d.      12  6 (mod 4) sebab 4 (12-6) atau 4 6.

e.       8  -2 (mod 3) sebab 3  8 (-2) atau 3  10.

Teorema 7.1

Setiap bilangan bulat kongruen modulo m dengan tepat satu di antara 0, 1, 2, 3, …, (m-1).

Bukti:

a ≡ b (mod m) jika dan hanya jika ada bilangan bulat k sehingga a = mk +b. Jika a dan m bilangan bulat dan m > 0, maka a  dinyatakan sebagai a = mq + r dengan 0≤ r < m. Ini berarti bahwa a –r = mq, yaitu a ≡ r (mod m). karena 0≤ r < m, maka ada m buah pilihan untuk r, yaitu 0, 1, 2, 3,…, (m-1). Jadi, setiap bilangan bulat akan kongruen modulo m dengan tepat satu diantara 0, 1, 2, 3, …, (m-1).

Definisi 7.2.

Pada a ≡ r (mod m) dengan 0 ≤ r < m, r disebut sisaan terkecil dari a modulo m. untuk kkekongruenan ini, {0, 1, 2, 3, …, (m-1)} disebut himpunan sisaan positif terkecil modulo m.

Contoh 7.3.

a.       12 ≡ 2 (mod 5) karena 2 adalah sisaan terkecil dari 12 modulo 5.

b.      71 ≡ 1 (mod 2) karena 1  adalah sisaan terkecil dari 71 modulo 2.

c.       71 ≡ 2 (mod 3) karena 2 adalah sisaan terkecil dari 71 modulo 3.

d.      34 ≡ 4 (mod 5) karena 4 adalah sisaan terkecil dari 34 modulo 5.

Teorema 7.2.

a ≡ b (mod m) jika dan hanya jika a dan b memiliki sisa yang sama jika dibagi m.

Bukti:

Akan dibuktikan bahwa jika a ≡ b (mod m) maka a dan b memiliki sisa yang sama jika dibagi m. Andaikan a ≡ b (mod m) maka a ≡ r (mod m) dan b ≡ r (mod m) dengan r adalah sisaan terkecil modulo m atau 0 ≤  r < m. Karena a ≡ r (mod m) berarti a = mq +r untuk suatu q. Demikian juga, b ≡ r (mod m) berarti b = mq + r untuk suatu t. Ini berarti a dan b memiliki sisa yang sama yaitu r jika dibagi m. 

contoh:

10 ≡ (mod 4) mempunyai arti yang sama dengan 10 = 4k +  2 untuk suatu bilangan bulat k = 2 dan 10 dibagi 4 bersisia 2.

  Definisi 7.3.

Himpunan bilangan bulat  disebut system sisaan lengkap modulo m jika dan hanya jika setiap bilangan bulat adalah kongruen modulo m dengan satu dan hanya satu diantara  .

Contoh:

a.       {45, -9, 12, -22, 24} adalah suatu system sisaan lengkap modulo 5 karena 45 ≡ 0 (mod 5), -9 ≡ 1 (mod 5), 12≡ 2 (mod 5), -22 ≡ 3 (mod 5),  dan 24 ≡ 4 (mod 5).

b.      {0, 1, 2, 3, 4} juga merupakan  suatu system sissan langkap modulo 5, sekaligus sebagai himpunan sisaan terkecil modulo 5.

Kekongruenan modulo suatu bilangan bulat positif adalah memadankan suatu bilangan bulat a dengan suatu bilangan bulat lain b, karena merupakan pemadanan, maka kekongruenan  modulo merupakan suatu relasi. Suatu relasi R disebut relasi ekuivalensi atas suatu himpunan bilangan A jika relasi itu memiliki sifat refleksi, sifat simetris dan sifat transitif.

1.      Sifat refleksif: aRa, suatu bilangan a memiliki relasi R terhadap bilangan a itu sendiri.

2.      Sifat simetris: aRb jika dan hanya jika bRa.

3.      Sifat transitef: aRb dan bRc berakibat aRc.

Teorema 7.3.

Untuk m bilangan bulat positif dan a, b, dan c bilangan bulat berlaku :

(1)   Sifat refleksif : a≡ a (mod m)

(2)   Sifat simetris: a ≡ b (mod m) jika dan hanya jika b ≡ a (mod m).

(3)   Sifat transitif: jika a ≡ b (mod m) dan b ≡ c (mod m) maka a ≡ c(mod m).

Bukti:

(1)   Karena m │0 maka m│(a-a), sehingga menurut Definisi 7.1. a ≡ a (mod m).

(2)   Jika a ≡ b(mod m) maka menurut Definiisi 7.1. m│(a-b). Menurut definisi keterbagian m│(a-b) berarti ada t  Z. sedemikian sehingga a-b = mt  b –a = m(-t) dengan –t  Z, sehingga sesuai dengan definisi keterbagian diperoleh m│(b-a). Karena m│(b-a) maka b ≡ a(mod m).

(3)   Jika a ≡ b(mod m) dan b ≡ c (mod m), maka menurut Definiisi 7.1. m│(a-b) dan m│{(a-b)+(b-c)} atau m│(a-c), sehingga a ≡ c (mod m).

Teorema 7.4

Jika a ≡ b (mod m) dan c ≡ d (mod m) maka {a ± c} ≡ {b ± d} (mod m)

Bukti:

            Karena a ≡ b (mod m) berarti a= ms+b untuk suatu bilangan bulat s. demikin juga, c ≡ d (mod m) berarti c= mt +d untuk suatu bilangan bulat t. apabila kedua persamaan ini ditambahkan atau dikurangkan diperoleh:

a±c = (ms+b) ± (mt+d)  a±c = m (s±t) + (b±d)

                                       (a±c) – (b±d) = m(s±t).

Ini berarti a±c ≡ (b±d) (mod m).        

Teorema 7.5.

Jika a ≡ b (mod m) dan c ≡ d(mod m) maka untuk x dan y bilangan bulat ax+ cy) ≡ (bx + dy) (mod m).

Bukti:

Asumsikan a ≡ b(mod m) berarti a= ms + b untuk suatu bilangan bulat s. demikian juga, c≡d (mod m) berarti c = mt +d untuk suatu bilangan bulat t. jika kedua ruas persamaan pertama dikalikan x dan kedua ruas persamaan kedua dikalikan y diperoleh: ax = ms+by dan cy= mty + dy. Dengan  penjumlahan, dari kedua persamaan ini diperoleh:

ax + cy ≡ (msx+bx) + (mty + dy) ax + cy= m(sx + ty) +(bx + dy)

                                                                (ax + cy) – (bx+dy) = m(sx+ty).

Ini berarti bahwa m │{(ax+cy) – (bx + dy)} atau ax+cy ≡ (bx+dy)(mod m)

Teorema 7.6.

Jika a ≡ b (mod m) dan c ≡ d (mod m) maka ac ≡ bd (mod m).

Bukti:

Asumsikan a≡ b(mod m) dan c≡ d (mod m), menurut Definisi 7.1 m│(a-b) dan m│(c-d). ini berarti ada s  Z,sehingga (a-b) = ms atau a= ms + b dan ada t Z, sedemikian sehingga (c-d) = mt atau c = mt+d. jika kedua persamaan ini dikalikan, diperoleh: ac = (ms + b) (mt+d)  ac=bd+m (mst + sd+ bt).

Ini berarti ac ≡ bd (mod m).

Teorema 7.7.

Jika a ≡ b (mod m) maka ka ≡ kb (mod m) untuk suatu k bilangan bulat sebarang.

Bukti:

Ambil a ≡ b(mod m) maka menurut Definisi 7.1 m│(a-b). Karena m│(a-b), menurut teorema keterbagian m│k(a-b) atau m│(ka-kb) untuk sembarang k Z seduai definisi 7.1, ini berarti ka ≡ kb (mod m).

Teorema 7.8.

Jika a ≡ b (mod m) maka ka ≡ kb (mod km) untuk suatu k bilangan bulat sebarang.

Bukti:

Asumsikan a ≡ b(mod m), menurut Definisi 7.1 m│(a-b), yang berarti ada x Z sehingga (a-b) = mx atau k(a-b) = kmx atau ka-kb = (km)x. Menurut definisi keterbagian, ini berarti km│(ka-kb), sesuai Definisi 7.1 ka ≡ kb (mod km).

Teorema 7.9.

Jika a ≡ b (mod m) dan n│m maka a ≡ b (mod m) untuk a, b, n  Z.

Bukti:

Asumsikan a≡ b (mod m), menurut Definisi 7.1 m│(a-b). Karena n│m dan m│(a-b) maka menurut teorema keterbagian n│(a-b), sehingga menurut Definisi 7.1  a≡ b (mod n).

Teorema 7.10.

Jika a ≡ b (mod m) maka aⁿ ≡ bⁿ (mod m)untuk n bilangan bulat positif.

Teorema 7.11.

Andaikan f suatu polinom dengan koefisien bilangan bulat, yaitu f(x) = d₀xⁿ + d₁ x^n-1 + d₂x^n-2 + …+ d^n-1x + d_n, dengan d₀, d₁, …,d_n masing-masing bilangan bulat. Jika a ≡ b(mod m) maka f(a) = f (b) (mod m).

Bukti:

Gunakan teorema 7.10: “jika a ≡ b(mod m) maka aⁿ ≡ bⁿ(mod m) untuk n bilangan bulat positif. Karena a ≡ b(mod m) maka a² ≡ b² (mod m)

            Teorema 7.12.

Jika a suatu penyelesaian f(x) = 0 (mod m) dan a ≡ b(mod m) maka b juga penyelesaian f(x) itu.

            Teorema 7.13.

Jika d│m dan a ≡ b (mod m) maka a ≡ b (mod m).

Pada persamaan bilangan bulat berllaku sifat penghapusan sebagai berikut: jika ab = ac dengan a ≠ 0 maka b = c.

            Teorema 7.14.

Jika ac = bc (mod m) dan (c,m) = 1 maka a ≡ b (mod m).

Bukti:

Karena ac ≡ bc (mod m) berarti m│c(ac - bc) atau m│c(a-b). dari m│c(a-b) dan (c,m) = 1 diperoleh m│(a-b) berarti a ≡ b(mod m). Jadi, kita dapat menghapus suatu factor dalam kekongruenan, jika factor tersebut dan bilangan modulonya saling prima. Tetapi jika faktor dan modulonya tidak saling prima, kita harus mengganti bilangan modulonya dalam teorema berikut:

 Untuk lebih lanjut, silahkan di download filenya dibawah ini :

Download This File

Terima kasih atas kunjungannya di blog kami, semoga artikel Teori bilangan pada materi kekongruenan ini memberikan manfaat bagi kita semua serta pemahaman kita terhadap matematika lebih meningkat dalam Ensiklopedia Matematika.