Teori Bilangan Materi Keterbagian Bilangan Bulat

Ensiklopedia Matematika - sahabat-sahabat sekalian, pada postingan kali ini kami akan membahas tuntas mengenai keterbagian bilangan bulat. Sebenarnya keterbagian bilangan bulat ini bukan hal yang baru dalam hidup kita, sejak SD kita telah mempelajari pembagian bilangan bulat, yang itu merupakan bagian materi dari keteerbagian bilangan bulat. Untuk lebih lanjut silahkan disimak penjelasannya dibawah ini :

Sifat-sifat yang berkaitan dengan keterbagian  merupakan dasar pengembangan teori bilangan, sehingga konsep tentang keterbagian. Jika suatu bilangan bulat dibagi oleh suatu bilangan bulat, atau bukan bilangan bulat. Misalnya, jika 36 dibagi 6  maka hasil baginya adalah 6 merupakan bilangan bulat.

Sifat-sifat yang berkaitan dengan keterbagian merupakan dasar pengembangan teori bilangan, sehingga konsep tentang keterbagian akan banyak dijumpai dalam uraian selanjutnya. Konsep keterbagian juga sering muncul dalam buku-buku yang membahas struktur aljabar atau aljabar modern.

Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dan Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) merupakan kosep turunan dari keterbagian bilangan bulat.  Sifat-sifat yang berkaitan dengan keterbagian merupakan dasar pengembangan teori bilangan dalam Matematika.

Jika suatu bilangan bulat dibagi oleh suatu bilangan bulat yang lain, hasil pembagiannya adalah bilangan bulat atau bukan bilangan bulat.

Defenisi 5.1

Suatu bilangan bulat a≠0 membagi habis bilangan bulat b, (ditulis a|b) jika dan jika ada bilangan bulat k sehingga b=ak, atau dapat dituliskan dengan  simbol :   V a, b € Z, a | b ↔ ≡  k € Z э b=ak; a≠0

Teorema 5.1

Jika diketahui bilangan bulat a dan b dengan a≠0 dan ada bilangan bulat k sehingga berlaku b =ak, maka k tunggal

Jika a, b dan c bilangan bulat, a|b dan b|c maka a|c. Secara ringkas dapat ditulis dengan simbol : a|b  ^ b|c → a|c; a,b,c € Z

Definisi:

Relasi bilangan adalah Bilangan bulat a membagi (habis) bilangan bulat b ditulis a ׀ b, jika dan hanya jika ada bilangan bulat k sedemikian hingga b = ka. Jika a tidak membagi (habis) b, maka ditulis a  b.

Contoh:

5 ׀ 30, Karena ada bilangan bulat yaitu 6, sedemikian hingga 5,6 = 30

7 ׀ -21, sebab ada bilangan bulat, yaitu -3, sedemikian hingga 7, (-3) = -21

-6 ׀ 24, sebab ada bilangan bulat, yaitu

-4, sedemikian hingga (-6)(-4) = 24

8  27, sebab tidaka ada bilangan bulat k, sedemikian hingga 8k = 27

Bilanagan bulat k pada definisi 2.1 tersebut adalah tunggal, sebab apabila ada bilangan bulat m selain k sedemikian hingga

              b = ma    dan     b= ka,

maka                  ma = ka,

sehingga              m =  k,

jika a = 0 dan b ≠ 0, maka tidak ada bilangan k sehingga b = ka.

Tetapi jika a = 0 dan b = 0, maka k tidak tunggal agar berlaku b = ka.

Istilah: Untuk seterusnya istilah “membagi habis” dan “terbagi habis” berturut-turut disingkat menjadi “membagi” dan “terbagi” . “a membagi b” dan “b terbagi a” keduanya ditulis “a ׀ b”. istilah-istilah lain yang mempunyai arti sama dengan a ׀ b adalah “ a ialah faktor dari b”. “a ialah pembagi dari b” ialah kelipatan dari a”.

Apabila a׀ b dan k adalah bilangan-bilangan bulat dengan a ≠ 0 dan b = ka, maka k disebut hasil bagi (quotient) dari b oleh a. disebut pula bahwa k adalah faktor dari b yang menjadi komplemen ( sekawan) dari a, atau dengan singkat dikatakan bahwa a dan k adalah pembagi-pembagi sekawan ( komplementer) dari b.

Apabila a ׀ b, menurut definisi, maka ada bilangan bulat k sehingga b = ka, dan jika diketahui pula b ׀ c, maka ada bilangan bulat m sehingga c = mb. Karena b = ka, maka c = maka, sehingga menurut definisi diperoleh a׀ c. hal ini berarti relasi keterbagian pada himpunan bilangan bulat mempunyai sifat transitif. Sifat ini dinyatakan sebagai teorema berikut:

Teorema 2.1  Jika a ׀ b dan b ׀ c maka a ׀ c.

Apabila a ׀ b yaitu a membagi habis b, maka a membagi habis stiap kelipatan b, yaitu a ׀ mb, untuk setiap bilangan bulat m.

Hal ini dinyatakan sebagai teorema berikut ini.

Teorema 2.2  Jika a ׀ b dan a ׀ mb, untuk setiap bilangan bulat m.

Apabila a ׀ b dan a ׀ c, menurut definisi maka diperoleh b  = ka dan c = ma untuk bilangan-bilangan bulat k dan m.

Dari  dua kesamaan ini dapat diperoleh bahwa:

(i)                 b + c = (k + m)a berarti a ׀ (b + c )

(ii)               b – c =  (k – m)a berarti a ׀ (b – c)dan

(iii)              b c  = (kma) a berarti a ׀ bc

ketiga kesimpulan ini dinyatakan sebagai teorema berikut ini.

Teorema 2.3.  Apabila a ׀ b dan a ׀ c, maka a ׀  (b + c), a ׀ (b – c) dan a ׀ bc.

Teorema terakhir  ini dapat ditulis dalam sebuah pernyataan yang dinyatakan  dalam teorema berikut ini yang bisa disebut sifat linieritas.

Teorema 2.4. (sifat linieritas)

Apabila a ׀ b dan a ׀ c maka a ׀ (mb + nc) untuk setiap bilangan bulat m dan n.

Bukti : Karena a ׀ b dan a ׀ c, menurut teorema 2, maka a ׀ mb dan a ׀ nc untuk setiap bilangan-bilangan bulat m dan n. selanjutnya, menurut teorema 3,  maka a ׀ (mb + nc).

Teorema 2.5

(i)                 a ׀ b untuk setiap bilangan bulat a (sifat reflektif)

(ii)               jika a ׀ b maka ma ׀ mb untuk setiap bilangan bulat m.

(iii)             jika ma ׀ mb dengan m ≠ 0, maka a ׀ b.

(iv)             I ׀ a dan a ׀ 0

(v)               Jika 0 ׀ a maka a = 0 (nol hanya membagi nol)

(vi)             Jika a ׀ b dengan b ≠ 0, maka ׀ a ׀ ≤ ׀ b ׀

 Untuk lebih lanjut silahkan didownload filenya dibawah ini :

Download This File

Terima kasih telah mengunjungi blog kami, semoga artikel keterbagian bilangan bulat ini memberikan manfaat bagi kita semua. Dan kita memliki pemahaman yang lebih tentang Ensiklopedia Matematika.